8.2 延迟算子

延迟算子 \(B\) 是一个重要的标记,它被用于表示时间序列的延迟: \[ B y_{t} = y_{t - 1} \: . \] (有些文献会使用 \(L\)(lag)而非 \(B\) 来表示延迟算子。)也就是说, 当 \(B\) 被用于 \(y_{t}\) 时,意味着将时间反向回溯一个单位时段。当\(B\)被连续两次使用时,它表示将\(y_{t}\)的时间反向回溯两个单位时段: \[ B(By_{t}) = B^{2}y_{t} = y_{t-2}\: . \] 对月度数据而言,如果我们想考虑上一年的同一个月份,表示方法为:\(B^{12}y_{t}\) = \(y_{t-12}\)

延迟算子在描述差分的过程中十分方便。比如一阶差分可以表示为: \[ y'_{t} = y_{t} - y_{t-1} = y_t - By_{t} = (1 - B)y_{t}\: . \] 在这里一阶差分的表示方法为\((1 - B)\)。 同样的,如果我们需要计算二阶差分,则: \[ y''_{t} = y_{t} - 2y_{t - 1} + y_{t - 2} = (1-2B+B^2)y_t = (1 - B)^{2} y_{t}\: . \] 将上面的公式进行推广, \(d\) 阶差分可以表示为: \[ (1 - B)^{d} y_{t}. \]

进行差分方式的组合时,延迟算子尤其有用,因为它符合代数变换的规则。特别地,包含 \(B\) 的式子可以相乘。

比如,季节性差分后进行一步差分可以表示为: \[\begin{align*} (1-B)(1-B^m)y_t &= (1 - B - B^m + B^{m+1})y_t \\ &= y_t-y_{t-1}-y_{t-m}+y_{t-m-1}, \end{align*}\] 这和我们之前得到的结果相同。