9.7 练习

  1. 数据集advert中包含汽车零部件的月度销售额和广告支出。
    1. 使用autoplot函数绘制上述数据。参数facets=TRUE可以起到什么样的作用?

    2. 利用tslm()函数拟合标准回归模型 \(y_t = a + b x_t + \eta_t\),其中 \(y_t\) 代表销售额,\(x_t\) 代表广告支出。

    3. 证明残差具有显著的自相关性。

    4. 当采用Arima模型时会有什么不同?

      Arima(advert[,"sales"], xreg=advert[,"advert"], order=c(0,0,0))
    5. 使用auto.arima()函数重新拟合。误差模型的参数估计有什么差异?应选用哪种 ARIMA 模型拟合残差?

    6. 检验拟合模型的残差。

    7. 假设未来六个月的广告支出为每月十个单位,通过模型预测月度销售额,并生成预测区间。

  2. 本练习中,数据集huron为1875年到1972年间休伦湖的水位。
    1. 采用分段线性趋势模型拟合上述数据,分段的节点位于1920年,并采用 ARMA 模型表示误差项。
    2. 预测未来三十年休伦湖的水位。
  3. 本练习中使用的数据集为motel:1980年1月到1995年6月间,澳大利亚维多利亚中酒店、汽车旅馆和宾馆的住宿总月收入和总房间数。总月收入的单位为千澳元,总房间数的单位为千。
    1. 使用以上数据计算维多利亚州住宿一晚的平均费用。
    2. 估计月度 CPI。
    3. 绘制两个变量的时间序列图,并解释为什么在建模之前要对两个变量取对数。
    4. 利用 ARIMA 误差项拟合出合适的回归模型。解释你生成最终模型的过程。
    5. 使用拟合出的模型预测未来12个月每间客房的平均价格。(提示:应首先预测CPI数据)
  4. 5.10节的练习6中,我们采用谐波回归模型拟合了gasoline序列数据。现在我们利用包含 ARMA 误差项的回归模型对该数据集进行拟合。
    1. 使用tslm()函数,将包含分段时间趋势的谐波回归模型拟合到整个gasoline数据。通过 最小化 AICc 和 CV 值来选择傅里叶项数。
    2. 使用auto.arima()函数重新拟合出一个允许存在自相关误差的模型。其预测变量和tslm()函数中的预测变量相同。
    3. 使用checkresiduals()函数检验最终模型的残差。残差项是否为一个白噪声?若是,请尝试修改模型或者删除前几年的数据。
    4. 若模型的残差项为一个白噪声,利用该模型预测未来一年的数据。
  5. 耗电量通常可以被看作为温度的函数。温度通过日加热温度和日降温温度。加热温度为 \(18^\circ\) C减去日平均温度,当温度低于 \(18^\circ\) C,取其值为0。通过这种方式可以衡量降温时需要加热的程度和升温时需要取冷的程度。设 \(y_t\) 为每月的用电量,单位为千瓦时;\(x_{1,t}\) 为每月的加热量总和,\(x_{2,t}\) 为每月的降温量总和。

一般采用以下模型拟合此类数据: \[y^*_t = b_1x^*_{1,t} + b_2x^*_{2,t} + \eta_t,\] 其中,\[(1-B)(1-B^{12})\eta_t = \frac{1-\theta_1 B}{1-\phi_{12}B^{12} - \phi_{24}B^{24}}\varepsilon_t\] 且,\(y^*_t = \log(Y_t)\)\(x^*_{1,t} = \sqrt{x_{1,t}}\)\(x^*_{2,t}=\sqrt{x_{2,t}}\)

  1. \(\eta_t\) 满足的ARIMA模型是什么?
  2. 参数的估计系数为
参数 估计值 s.e. \(Z\) \(P\)
\(b_1\) 0.0077 0.0015 4.98 0.000
\(b_2\) 0.0208 0.0023 9.23 0.000
\(\theta_1\) 0.5830 0.0720 8.10 0.000
\(\phi_{12}\) -0.5373 0.0856 -6.27 0.000
\(\phi_{24}\) -0.4667 0.0862 -5.41 0.000

解释 \(b_1\)\(b_2\) 的估计值,并计算耗电量。

  1. 写出更适合用于预测的等式。
  2. 解释该模型如何预测未来12个月的耗电量。
  3. 解释 \(\eta_t\) 应使用怎样的 ARIMA 模型建模。并讨论估计的性质、标准回归结果的有效性以及 ARIMA 模型的重要性。
  1. 对于前几章中讨论过的零售时间序列:
    1. 使用包含傅里叶项的动态回归模型。傅里叶项数数量使用 AIC 准则选择。(需要使用先前确定的同样的 Box-Cox 变换)
    2. 检验模型的误差项。误差项是否为一白噪声?
    3. 将预测结果与之前模型的预测结果进行比较。