9.1 模型估计

当估计模型参数时,需要最小化残差 \(\varepsilon_t\) 的平方总和。假如我们用最小化 \(\eta_t\) 的平方总和来代替,则会出现以下问题:

  1. 由于一些信息被忽视,导致估计系数 \(\hat{\beta}_0,\dots,\hat{\beta}_k\) 不再是最优估计;
  2. 所有关于模型的检验(例如:系数的 t 检验)都不正确;
  3. 最优的 AICc 值不再有效,不能根据 AICc 值选取预测的最佳模型;
  4. 在很多情况下,即是某些预测变量不是很重要,但是它们的系数的 \(p\) 值也很小,这就会导致“虚假回归”。

通过最小化 \(\varepsilon_t\) 值的平方总和可以避免以上问题。或者可以采用最大似然估计,二者将会产生几乎相同的结果。

对包含 ARMA 误差项的回归模型进行参数估计时,需要注意的是模型中的所有变量都必须是平稳的。因此,应首先对待预测变量 \(y_t\) 和预测变量 \((x_{1,t},\dots,x_{k,t})\) 做平稳性检验。假如变量中存在某一个或几个变量是非平稳的,那么参数估计将不是一致估计(因此参数估计将无意义)。但是,若存在变量非平稳,但变量之间是协整的,那么此时参数估计为一致估计,参数估计仍有意义。17

因此,当模型中存在非平稳的变量时,首先对该变量进行差分。通常情况下,我们希望待预测变量 \(y_t\) 和预测变量保持相同形式,所以当模型中存在非平稳变量时,我们会对所有变量进行差分,之后得到的模型称为“差分模型”。而不对原始数据做任何处理得到的模型称为“水平模型”。

如果当模型中所有变量都平稳时,我们只需要考虑残差项的 ARMA 模型的拟合误差。显然,存在 ARIMA 误差项的回归模型等同于差分 ARMA 误差的回归模型。例如,若误差项满足 ARIMA(1,1,1),将其差分之后得到的模型为: \[\begin{align*} y'_t &= \beta_1 x'_{1,t} + \dots + \beta_k x'_{k,t} + \eta'_t,\\ & (1-\phi_1B)\eta'_t = (1+\theta_1B)\varepsilon_t, \end{align*}\] 其中,\(y'_t=y_t-y_{t-1}\), \(x'_{t,i}=x_{t,i}-x_{t-1,i}\), \(\eta'_t=\eta_t-n_{t-1}\)。此即为差分 ARMA 模型误差的回归模型。


  1. Forecasting with cointegrated models is discussed by Harris & Sollis (2003).↩︎