10.6 映射矩阵

到目前为止所考虑的所有方法都可以使用通用符号表示。

假设我们对所有序列的预测都是独立的,忽略聚合约束。我们将这些称为“基础”预测并用 \(\hat{\bm{y}}_h\) 表示它们,其中 \(h\) 是预测范围。它们的堆叠顺序与数据 \(\bm{y}_t\) 的顺序相同。

那么,分层结构或分组结构的所有预测方法都可以表示为 \[\begin{equation} \tilde{\bm{y}}_h=\bm{S}\bm{P}\hat{\bm{y}}_h, \tag{10.6} \end{equation}\] 其中 \(\bm{P}\) 是一个将基本预测映射到底层的矩阵,求和矩阵 \(\bm{S}\) 使用聚合结构对它们求和,以产生一组一致的预测 \(\tilde{\bm{y}}_h\)

\(\bm{P}\) 矩阵是根据使用的方法来定义的。例如,如果使用自下而上的方法来预测图 10.1 的分层结构,那么 \[\bm{P}= \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1\\ \end{bmatrix}。 \] 请注意 \(\bm{P}\) 包含两个部分。前三列将该序列底层以上的基本预测清零,而 \(m\) 维单位矩阵仅选择底层的基本预测,然后用 \(\bm{S}\) 矩阵求和。

如果使用任何自上而下的方法那么 \[ \bm{P}= \begin{bmatrix} p_1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ p_2 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ p_3 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ p_4 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ p_5 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ \end{bmatrix}。 \] 第一列包括将顶层基本预测分配到底层的比例集,然后通过 \(\bm{S}\) 矩阵将分层结构求和。其余列将顶层以下的基本预测都清零。

对于中间突破方法, \(\bm{P}\) 矩阵是上述两者的组合。使用一组比例,一些预先选择的级别的基础预测将被分解到底层,其它所有基础预测将被清零,而底层预测将通过求和矩阵对分层结构进行求和得到。

预测调和

我们可以将公式 (10.6) 改写为 \[\begin{equation} \tilde{\bm{y}}_h=\bm{R}\hat{\bm{y}}_h, \tag{10.7} \end{equation}\] 其中 \(\bm{R}=\bm{S}\bm{P}\) 是“调和矩阵”。也就是说,它首先需要不一致的基础预测\(\hat{\bm{y}}_h\),并对它们进行调和以生成一致的预测 \(\tilde{\bm{y}}_h\)

在迄今为止讨论的方法中,并没有进行真正的调和,因为这些方法都是基于来自单一级别的汇总结构的预测,这些预测都已经进行汇总或分解来获得所有其他级别的预测。但是,一般情况下,我们可以使用其他的 \(\bm{P}\) 矩阵,然后 \(\bm{R}\) 将合并并调和所有基本预测,以便生成一致的预测。

事实上,我们可以找到最优的 \(\bm{P}\) 矩阵来提供最准确的调和后的预测。