6.2 移动平均
时间序列分解的经典方法起源于20世纪20年代，直到20世纪50年代才被广泛使用。它仍然是许多时间序列分解方法的基础，因此了解它的原理十分重要。传统的时间序列分解方法的第一步是用移动平均的方法估计趋势-周期项，因此我们先来讨论一下移动平均。
平滑移动平均
\(m\) 阶移动平均可以被写为： \[\begin{equation} \hat{T}_{t} = \frac{1}{m} \sum_{j=-k}^k y_{t+j}, \tag{6.1} \end{equation}\] 其中 \(m=2k+1\)。也就是说，时间点 \(t\) 的趋势-周期项的估计值是通过求 \(t\) 时刻的 \(k\) 周期内的平均得到的。时间邻近的情况下，观测值也很可能接近。由此，平均值消除了数据中的一些随机性，从而我们可以得到较为平滑的趋势周期项。我们称它为 “\(m\)-MA”，也就是 \(m\) 阶移动平均。
autoplot(elecsales) + xlab("年份") + ylab("亿瓦时") +
ggtitle("年度电力销售量: 南澳大利亚")+
theme(text = element_text(family = "STHeiti"))+
theme(plot.title = element_text(hjust = 0.5))
图 6.4: 南澳大利亚住宅用电销售量 (包括热水): 1989–2008。
如图 6.4，为1989年至2008年南澳大利亚年度住宅用户电力销售量。原始数据在表 6.1。
| 年份 | 电力销售量 (亿瓦时) | 5-MA |
|---|---|---|
| 1989 | 2354.34 | |
| 1990 | 2379.71 | |
| 1991 | 2318.52 | 2381.53 |
| 1992 | 2468.99 | 2424.56 |
| 1993 | 2386.09 | 2463.76 |
| 1994 | 2569.47 | 2552.60 |
| 1995 | 2575.72 | 2627.70 |
| 1996 | 2762.72 | 2750.62 |
| 1997 | 2844.50 | 2858.35 |
| 1998 | 3000.70 | 3014.70 |
| 1999 | 3108.10 | 3077.30 |
| 2000 | 3357.50 | 3144.52 |
| 2001 | 3075.70 | 3188.70 |
| 2002 | 3180.60 | 3202.32 |
| 2003 | 3221.60 | 3216.94 |
| 2004 | 3176.20 | 3307.30 |
| 2005 | 3430.60 | 3398.75 |
| 2006 | 3527.48 | 3485.43 |
| 2007 | 3637.89 | |
| 2008 | 3655.00 |
表中的第三列是5阶的移动平均，它给出了趋势周期项的估计值。这列的第一个值表示前5个观测值的平均值（1989–1993）；第二个值是1990–1994的平均值；至此类推。5-MA 列中的每一个值是以对应年份为中心的5年的观测值的平均值。在方程式 (6.1) 中，5-MA 列包含 \(\hat{T}_{t}\)，其中 \(k=2\)， \(m=2k+1=5\)。这可以很方便地用下式来计算：
表中的最前面 2 年和最后面 2 年都没有值，因为我们在两端都没有观测值。之后我们会运用更复杂的方法来估计趋势-周期项，它可以求出端点的估计值。
为了直观地来看趋势周期项，我们将它和原始数据绘制在图 6.5 中。
autoplot(elecsales, series="原始数据") +
autolayer(ma(elecsales,5), series="5-MA") +
xlab("年份") + ylab("亿瓦时") +
ggtitle("年度住宅售电量: 南澳大利亚") +
scale_colour_manual(values=c("原始数据"="grey50","5-MA"="red"),
breaks=c("原始数据","5-MA"))+
theme(text = element_text(family = "STHeiti"))+
theme(plot.title = element_text(hjust = 0.5))
图 6.5: 住宅售电量（灰）与5-MA趋势周期项估计值（红）。
我们可以发现，趋势-周期项（红色）比原始数据更平滑，捕捉了时间序列去除了微小波动后的主要变化。移动平均的阶数决定了趋势-周期项的平滑程度。一般情况下，阶数越大曲线越平滑。图 6.6 展示了住宅住宅售电量数据在改变阶数后对其移动平均的影响。
图 6.6: 不同的移动平均在住宅用电量数据的应用。
简单移动平均的阶数常常是奇数阶（例如：3，5，7等），这样可以确保对称性。在阶数为 \(m=2k+1\) 的移动平均中，中心观测值和两侧各有的 \(k\) 个观测值可以被平均。但是如果 \(m\) 是偶数，那么它就不再具备对称性。
移动平均的移动平均
我们可以对移动平均序列计算它的移动平均,这样变可使偶数阶移动平均具备对称性。
例如，我们可能求得一个阶数为4的移动平均，然后对所得的结果再求出其2阶移动平均。在下表中，我们对澳大利亚啤酒生产季度数据的部分数据应用该方法。
beer2 <- window(ausbeer,start=1992)
ma4 <- ma(beer2, order=4, centre=FALSE)
ma2x4 <- ma(beer2, order=4, centre=TRUE)| 年份 | 季节 | Observation | 4-MA | 2x4-MA |
|---|---|---|---|---|
| 1992 | Q1 | 443 | ||
| 1992 | Q2 | 410 | 451.25 | |
| 1992 | Q3 | 420 | 448.75 | 450.00 |
| 1992 | Q4 | 532 | 451.50 | 450.12 |
| 1993 | Q1 | 433 | 449.00 | 450.25 |
| 1993 | Q2 | 421 | 444.00 | 446.50 |
| 1993 | Q3 | 410 | 448.00 | 446.00 |
| 1993 | Q4 | 512 | 438.00 | 443.00 |
| 1994 | Q1 | 449 | 441.25 | 439.62 |
| 1994 | Q2 | 381 | 446.00 | 443.62 |
| 1994 | Q3 | 423 | 440.25 | 443.12 |
| 1994 | Q4 | 531 | 447.00 | 443.62 |
| 1995 | Q1 | 426 | 445.25 | 446.12 |
| 1995 | Q2 | 408 | 442.50 | 443.88 |
| 1995 | Q3 | 416 | 438.25 | 440.38 |
| 1995 | Q4 | 520 | 435.75 | 437.00 |
| 1996 | Q1 | 409 | 431.25 | 433.50 |
| 1996 | Q2 | 398 | 428.00 | 429.62 |
| 1996 | Q3 | 398 | 433.75 | 430.88 |
| 1996 | Q4 | 507 | 433.75 | 433.75 |
最后一列的符号 \(2\times4\)-MA的意义是在进行4-MA后再进行2-MA。最后一列的值是由前一列数据进行2阶移动平均后得到的。例如，4-MA列中最前面两个值为： 451.25=(443+410+420+532)/4 和 448.75=(410+420+532+433)/4. 2x4-MA列的第一个值是这两者的平均： 450.00=(451.25+448.75)/2.
对偶数阶（例如4阶）移动平均后的序列进行2-MA，称其为：“4阶中心移动平均”。这是因为这样处理后的结果是对称的。详细来讲，我们可以将 \(2\times4\)-MA写为如下形式： \[\begin{align*} \hat{T}_{t} &= \frac{1}{2}\Big[ \frac{1}{4} (y_{t-2}+y_{t-1}+y_{t}+y_{t+1}) + \frac{1}{4} (y_{t-1}+y_{t}+y_{t+1}+y_{t+2})\Big] \\ &= \frac{1}{8}y_{t-2}+\frac14y_{t-1} + \frac14y_{t}+\frac14y_{t+1}+\frac18y_{t+2}. \end{align*}\] 可见它现在是对称观测值的加权平均值。
移动平均的其他组合也是可行的。例如，\(3\times3\)-MA也很常用，它是指进行3阶移动平均后再进行一次3阶移动平均。一般来讲，进行偶数阶的移动平均后应该再进行一个偶数阶移动平均使其对称。相似地，奇数阶的移动平均后应该再进行一个奇数阶移动平均。
用季节数据估计趋势周期项
中心移动平均法最经常的应用是用于季节数据估计趋势-周期项。对于 \(2\times4\)-MA： \[ \hat{T}_{t} = \frac{1}{8}y_{t-2} + \frac14y_{t-1} + \frac14y_{t} + \frac14y_{t+1} + \frac18y_{t+2}. \] 当应用于季度数据的时候，每年的每个季度的权重都相等，因为第一个和最后一个季度在连续的年分中应用于同一个季度。因此，季节波动将会被抹平，并且所得到的 \(\hat{T}_t\) 中会几乎或完全没有季节性波动的存在。使用 \(2\times 8\)-MA 或是 \(2\times 12\)-MA 会得到类似的效果。
一般情况下，\(2\times m\)-MA等同于 \(m+1\) 阶加权平均，在这个方法中每个观测值的权重都是 \(1/m\)，除了第一个值和最后一个值的权重是 \(1/(2m)\)。因此，如果季节周期项是偶数，并且阶数为 \(m\)，我们用 \(2\times m\)-MA来估计趋势-周期项。如果季节项是奇数，阶数是 \(m\)，我们用 \(m\)-MA 来估计趋势-周期项。例如，\(2 \times 12\)-MA可以用来估计月度趋势周期项，7-MA可以来估计有星期周期变化的日数据趋势-周期项。
MA的其他阶数通常会导致趋势-周期项的估计被数据中的季节性干扰。
例子: 电气设备制造
autoplot(elecequip, series="原始数据") +
autolayer(ma(elecequip, 12), series="12-MA") +
xlab("年份") + ylab("新订单指数") +
ggtitle("电气设备制造(欧元区)") +
scale_colour_manual(values=c("原始数据"="grey","12-MA"="red"),
breaks=c("原始数据","12-MA"))+
theme(text = element_text(family = "STHeiti"))+
theme(plot.title = element_text(hjust = 0.5))
图 6.7: 将2x12-MA应用于电子设备订单数据。
图 6.7 为将 \(2\times12\)-MA应用于电气设备订单指数的结果 。我们注意到那条平滑的曲线没有显现出季节性；它与图 6.1 所示的趋势周期项几乎没有差别，这个用了比移动平均复杂很多估计方法。移动平均的其他任意阶数（除了24，36，等）都会导致平滑曲线显示出季节性波动。
加权移动平均法
简单移动平均的组合可以生成加权移动平均。例如上文所探讨的 \(2\times4\)-MA 等价于加权5-MA， 其权重为： \(\left[\frac{1}{8},\frac{1}{4},\frac{1}{4},\frac{1}{4},\frac{1}{8}\right]\).
一般来讲，加权 \(m\)-MA 可以写为： \[ \hat{T}_t = \sum_{j=-k}^k a_j y_{t+j}, \] 在上式中 \(k=(m-1)/2\) ，其权重为：\(\left[a_{-k},\dots,a_k\right]\)。 非常重要的一点是所选择的各期权重之和为1，并且它们是对称的，即 \(a_j = a_{-j}\)。\(m\)-MA 中的权重均为 \(1/m\) 是一个简单的特例。
加权移动平均法的一大优势是它可以让趋势周期项的估计更平滑。观测值不是直接完全进入或离开计算，它们的权重缓步增加，然后缓步下降，让曲线更加平滑。