7.4 指数平滑法的分类

指数平滑法 并不局限于我们目前提出的这些方法。通过考虑趋势和季节分量的不同组合变化,可以得到九种指数平滑方法,如表 7.6 所示。每种方法都由一对字母组合 (T,S) 标记,分别表示“趋势”和“季节”成分。例如, (A,M) 是具有加性趋势和乘性季节性的方法; (A\(_d\),N) 是具有衰减趋势且没有季节性的方法等等。

表 7.6: 指数平滑方法的双向分类。
Trend Component
Seasonal Component
N A M
(None) (Additive) (Multiplicative)
N (None) (N,N) (N,A) (N,M)
A (Additive) (A,N) (A,A) (A,M)
A\(_d\) (Additive damped) (A\(_d\),N) (A\(_d\),A) (A\(_d\),M)

其中一些方法我们已经知道它们有其他名称:

Short hand Method
(N,N) 简单指数平滑
(A,N) Holt线性方法
(A\(_d\),N) 加性衰减趋势法
(A,A) 加性Holt-Winters法
(A,M) 乘性Holt-Winters法
(A\(_d\),M) Holt-Winters衰减法

这种分类最早由 Pegels (1969) 提出,其中还包括一种具有乘性趋势的方法。后来陆续有学者对其进行扩展, Gardner (1985) 在其中加入了包括一种加性衰减趋势的方法, Taylor (2003) 加入了具有乘性衰减趋势的方法。在本书中,我们不考虑乘性趋势方法,因为它们通常会产生较差的预测效果。关于所有指数平滑方法的更全面的讨论,请参阅 Hyndman et al. (2008)

7.7 给出了在应用表 7.6 中的9种指数平滑方法的递归公式。每个单元格中包括用于生成 \(h\) 步向前预测的预测公式以及应用该方法的平滑公式。

表 7.7: Formulas for recursive calculations and point forecasts. In each case, \(\ell_t\) denotes the series level at time \(t\), \(b_t\) denotes the slope at time \(t\), \(s_t\) denotes the seasonal component of the series at time \(t\), and \(m\) denotes the number of seasons in a year; \(\alpha\), \(\beta^*\), \(\gamma\) and \(\phi\) are smoothing parameters, \(\phi_h = \phi+\phi^2+\dots+\phi^{h}\), and \(k\) is the integer part of \((h-1)/m\).

参考文献

Gardner, E. S. (1985). Exponential smoothing: The state of the art. Journal of Forecasting, 4(1), 1–28. https://doi.org/10.1002/for.3980040103

Hyndman, R. J., Koehler, A. B., Ord, J. K., & Snyder, R. D. (2008). Forecasting with exponential smoothing: The state space approach. Berlin: Springer-Verlag. http://www.exponentialsmoothing.net

Pegels, C. C. (1969). Exponential forecasting: Some new variations. Management Science, 15(5), 311–315. https://doi.org/10.1287/mnsc.15.5.311

Taylor, J. W. (2003). Exponential smoothing with a damped multiplicative trend. International Journal of Forecasting, 19, 715–725. https://doi.org/10.1016/S0169-2070(03)00003-7