9.2 Operatore ritardo (backshift)

L’operatore ritardo \(B\) è un utile strumento notazionale quando lavoriamo con ritardi di serie storiche: \[ B y_{t} = y_{t - 1} \: . \] In letteratura possiamo trovare \(L\) per “lag” invece di \(B\) per “backshift”. In altre parole, \(B\) applicato a \(y_{t}\), ha l’effetto di portare i dati indietro di un periodo. Due applicazioni dell’operatore \(B\) a \(y_{t}\) spostano i dati indietro di due periodi: \[ B(By_{t}) = B^{2}y_{t} = y_{t-2}\: . \] Per dati mensili, se vogliamo considerare “lo stesso mese dell’anno precedente,” la notazione è \(B^{12}y_{t}\) = \(y_{t-12}\).

L’operatore ritardo è molto utile per descrivere il processo di differenziazione. La differenza prima può essere scritta come \[ y'_{t} = y_{t} - y_{t-1} = y_t - By_{t} = (1 - B)y_{t}\: . \] Pertanto, la differenza prima di una serie può essere rappresentata da \((1 - B)\). In modo simile, se dobbiamo calcolare la differenza seconda, possiamo scrivere: \[ y''_{t} = y_{t} - 2y_{t - 1} + y_{t - 2} = (1-2B+B^2)y_t = (1 - B)^{2} y_{t}\: . \] In generale, una differenza di ordine \(d\) può essere scritta come \[ (1 - B)^{d} y_{t}. \] L’operatore ritardo è particolarmente utile quando si combinano diverse differenze, poiché l’operatore ritardo può essere trattato utilizzando le regole algebriche ordinarie. In particolare, i termini che coinvolgono \(B\) possono essere moltiplicati insieme.

Per esempio, una differenza stagionale seguita da una differenza prima può essere scritta come \[\begin{align*} (1-B)(1-B^m)y_t &= (1 - B - B^m + B^{m+1})y_t \\ &= y_t-y_{t-1}-y_{t-m}+y_{t-m-1}, \end{align*}\] lo stesso risultato che abbiamo ottenuto in precedenza.