3.4 Metodo di decomposizione classica

Il metodo di decomposizione classica è stato introdotto nel 1920 circa. Si tratta di una procedura relativamente semplice e costituisce il punto di partenza per la maggior parte degli altri metodi di decomposizione delle serie storiche. Esistono due forme di decomposizione classica: una decomposizione di tipo additivo ed una di tipo moltiplicativo. Di seguito si introducono entrambe le forme per una serie storica con periodo stagionale pari ad \(m\) (ad esempio, \(m=4\) per dati trimestrali, \(m=12\) per dati mensili, \(m=7\) per dati giornalieri con stagionalità settimanale).

Nella decomposizione classica si assume che la componente stagionale sia costante di anno in anno. Nel caso di stagionalità moltiplicativa, i valori \(m\) che formano la componente stagionale sono talvolta chiamati “indici stagionali”.

Decomposizione additiva

Passo 1
Se \(m\) è un numero pari, si calcola la componente trend-ciclo \(\hat{T}_t\) tramite una \(2\times m\)-MA. Se \(m\) è un numero dispari, si calcola la componente trend-ciclo \(\hat{T}_t\) con una \(m\)-MA.
Passo 2
Si calcola la serie detrendizzata: \(y_t - \hat{T}_t\).
Passo 3
Per stimare la componente stagionale per ogni periodo, si effettua semplicemente la media dei valori detrendizzati per quel periodo. Ad esempio, con dati mensili, la componente stagionale di marzo equivale alla media di tutti i valori detrendizzati di marzo presenti nel dataset. I valori così ottenuti sono successivamente corretti per assicurarsi che sommino a zero. La componente stagionale è infine ottenuta combinando assieme tali valori mensili, replicando la sequenza per ogni anno presente nei dati. In questo modo si ottiene la serie della stagionalità \(\hat{S}_t\).
Passo 4
La componente residuale viene calcolata sottraendo le componenti stagionali e del trend-ciclo: \(\hat{R}_t = y_t - \hat{T}_t - \hat{S}_t\).

La figura 3.13 mostra gli effetti di una decomposizione classica sulla serie degli occupati nel settore della vendita al dettaglio negli Stati Uniti.

us_retail_employment %>%
  model(
    classical_decomposition(Employed, type = "additive")
  ) %>%
  components() %>%
  autoplot() +
  labs(title = "Decomposizione additiva classica dell'occupazione totale nella 
                vendita al dettaglio negli Stati Uniti")
Decomposizione additiva classica degli occupati nel settore della vendita al dettaglio negli Stati Uniti.

Figura 3.13: Decomposizione additiva classica degli occupati nel settore della vendita al dettaglio negli Stati Uniti.

Decomposizione moltiplicativa

Una decomposizione moltiplicativa classica è simile a quella additiva, con la differenza che le sottrazioni sono sostituite da divisioni.

Passo 1
Se \(m\) è un numero pari, si calcola la componente trend-ciclo \(\hat{T}_t\) tramite una \(2\times m\)-MA. Se \(m\) è un numero dispari, si calcola la componente trend-ciclo \(\hat{T}_t\) con una \(m\)-MA.
Passo 2
Si calcola la serie detrendizzata: \(y_t/ \hat{T}_t\).
Passo 3
Per stimare la componente stagionale per ogni periodo si effettua la media dei valori detrendizzati per quel periodo. Ad esempio, con dati mensili, la componente stagionale di marzo equivale alla media di tutti i valori detrendizzati di marzo a disposizione nel dataset. I valori così ottenuti sono successivamente corretti per assicurarsi che sommino ad \(m\). La componente stagionale è infine ottenuta combinando assieme tali valori mensili, replicando la sequenza per ogni anno presente nei dati. In questo modo si ottiene la serie della stagionalità \(\hat{S}_t\).
Passo 4
La componente residuale viene calcolata dividendo le componenti stagionali e del trend-ciclo: \(\hat{R}_{t} = y_t /( \hat{T}_t \hat{S}_t)\).

Considerazioni sulla decomposizione classica

Nonostante la decomposizione classica sia ancora utilizzata, essa non è raccomandata in quanto attualmente sono disponibili metodi molto migliori. Di seguito sono elencati alcuni dei principali problemi del metodo di decomposizione classica.

  • La stima della componente trend-ciclo non è disponibile per le prime e per le ultime osservazioni. Per esempio, se \(m=12\), il metodo non fornisce una stima del trend-ciclo per le prime sei e le ultime sei osservazioni. Di conseguenza, non viene fornita nemmeno una stima della componente residua per gli stessi periodi di tempo.
  • La stima della componente trend-ciclo tende a smussare eccessivamente sia le crescite che i cali repentini presenti nei dati.
  • I metodi classici di decomposizione assumono che la componente stagionale si ripeta in maniera costante anno dopo anno. Per molte serie questa può essere un’ipotesi ragionevole, ma essa non lo è affatto per alcune serie più lunghe. Ad esempio, le serie relative alla domanda di elettricità sono cambiate fortemente nel tempo man mano che è andata diffondendosi l’aria condizionata. In molte località l’andamento stagionale di diversi decenni fa mostrava picchi di domanda massima in inverno (a causa del riscaldamento), mentre le serie attuali hanno una domanda massima in estate (a causa dell’aria condizionata). In questo caso i metodi classici di decomposizione non sono in grado di catturare le variazioni della struttura stagionale nel tempo.
  • A volte i valori delle serie storiche osservate in un periodo di tempo limitato possono avere delle caratteristiche insolite. Ad esempio il traffico aereo mensile di passeggeri può essere influenzato da una vertenza aziendale che può rendere l’andamento della serie diverso da quello solito. Il metodo classico non è robusto rispetto a questa tipologia di valori eccezionali.