8.7 Prevedere con i modelli ETS

Le previsioni puntuali possono essere ottenute dai modelli iterando le equazioni per \(t=T+1,\dots,T+h\) e fissando \(\varepsilon_t=0\) per \(t>T\).

Ad esempio, per il modello ETS(M,A,N), \(y_{T+1} = (\ell_T + b_T )(1+ \varepsilon_{T+1}).\) Quindi \(\hat{y}_{T+1|T}=\ell_{T}+b_{T}.\) Analogamente, \[\begin{align*} y_{T+2} &= (\ell_{T+1} + b_{T+1})(1 + \varepsilon_{T+2})\\ &= \left[ (\ell_T + b_T) (1+ \alpha\varepsilon_{T+1}) + b_T + \beta (\ell_T + b_T)\varepsilon_{T+1} \right] (1 + \varepsilon_{T+2}). \end{align*}\] Quindi, \(\hat{y}_{T+2|T}= \ell_{T}+2b_{T},\) e così via. Queste previsioni sono identiche alle previsioni che si ottengono col metodo di Holt lineare, e anche a quelle del modello ETS(A,A,N). Quindi, le previsioni puntuali ottenute dal metodo e dai due modelli che sottendono il metodo sono identiche (supponendo che si usino gli stessi valori dei parametri). Le previsioni puntuali ETS costruite in questo modo sono uguali alle medie delle distribuzioni di previsione, tranne che per i modelli con stagionalità moltiplicativa (Hyndman et al., 2008).

Per ottenere previsioni da un modello ETS, si utilizza la funzione forecast() del pacchetto fable. Questa funzione restituisce sempre le medie della distribuzione delle previsioni, anche quando queste differiscono dalle tradizionali previsioni puntuali.

fit %>%
  forecast(h = 8) %>%
  autoplot(aus_holidays)+
  labs(title="Turismo interno australiano",
       y="Pernottamenti (milioni)", x = "Trimestre")
Previsione dei pernottamenti turistici interni australiani usando un modello ETS(M,N,A).

Figura 8.12: Previsione dei pernottamenti turistici interni australiani usando un modello ETS(M,N,A).

Intervalli di previsione

Un grande vantaggio dei modelli statistici è che si possono calcolare gli intervalli di previsione, cosa che non è possibile se si utilizzano solo i metodi di previsione puntuale. Gli intervalli di previsione ottenuti dai modelli con metodi additivi sono diversi da quelli ottenuti usando modelli con metodi moltiplicativi.

Per la maggior parte dei modelli ETS, un intervallo di previsione può essere scritto come \[ \hat{y}_{T+h|T} \pm c \, \sigma_h \] dove \(c\) dipende dalla probabilità di copertura, e \(\sigma_h^2\) è la varianza della previsione. I valori per \(c\) sono quelli mostrati nella tabella 5.1. Per i modelli ETS, le formule per \(\sigma_h^2\) possono essere complicate; i dettagli sono forniti nel capitolo 6 di Hyndman et al. (2008). Nella tabella 8.8 sono presentate le formule per i modelli ETS additivi, che sono le più semplici.

Tabella 8.8: Espressione della varianza di previsione per ogni modello additivo nello spazio degli stati, dove \(\sigma^2\) è la varianza dei residui, \(m\) è il periodo stagionale, e \(k\) è la parte intera di \((h-1) /m\) (vale a dire il numero di anni completi nel periodo di previsione prima del tempo \(T+h\)).
Modello Varianza di previsione: \(\sigma_h^2\)
(A,N,N) \(\sigma_h^2 = \sigma^2\big[1 + \alpha^2(h-1)\big]\)
(A,A,N) \(\sigma_h^2 = \sigma^2\Big[1 + (h-1)\big\{\alpha^2 + \alpha\beta h + \frac16\beta^2h(2h-1)\big\}\Big]\)
(A,A\(_d\),N) \(\sigma_h^2 = \sigma^2\biggl[1 + \alpha^2(h-1) + \frac{\beta\phi h}{(1-\phi)^2} \left\{2\alpha(1-\phi) +\beta\phi\right\}\)
                    \(\mbox{} - \frac{\beta\phi(1-\phi^h)}{(1-\phi)^2(1-\phi^2)} \left\{ 2\alpha(1-\phi^2)+ \beta\phi(1+2\phi-\phi^h)\right\}\biggr]\)
(A,N,A) \(\sigma_h^2 = \sigma^2\Big[1 + \alpha^2(h-1) + \gamma k(2\alpha+\gamma)\Big]\)
(A,A,A) \(\sigma_h^2 = \sigma^2\Big[1 + (h-1)\big\{\alpha^2 + \alpha\beta h + \frac16\beta^2h(2h-1)\big\}\)
                    \(\mbox{} + \gamma k \big\{2\alpha+ \gamma + \beta m (k+1)\big\} \Big]\)
(A,A\(_d\),A) \(\sigma_h^2 = \sigma^2\biggl[1 + \alpha^2(h-1) + \gamma k(2\alpha+\gamma)\)
                    \(\mbox{} +\frac{\beta\phi h}{(1-\phi)^2} \left\{2\alpha(1-\phi) + \beta\phi \right\}\)
                    \(\mbox{} - \frac{\beta\phi(1-\phi^h)}{(1-\phi)^2(1-\phi^2)} \left\{ 2\alpha(1-\phi^2)+ \beta\phi(1+2\phi-\phi^h)\right\}\)
                    \(\mbox{} + \frac{2\beta\gamma\phi}{(1-\phi)(1-\phi^m)}\left\{k(1-\phi^m) - \phi^m(1-\phi^{mk})\right\}\biggr]\)

Per alcuni modelli ETS, non ci sono formule note per gli intervalli di previsione. In questi casi, la funzione forecast() utilizza valori futuri simulati e calcola gli intervalli di previsione dai percentili di questi valori futuri simulati.

Bibliografia

Hyndman, R. J., Koehler, A. B., Ord, J. K., & Snyder, R. D. (2008). Forecasting with exponential smoothing: The state space approach. Springer-Verlag. http://www.exponentialsmoothing.net