11.6 Prevedere la popolazione carceraria australiana

Tornando ora ai dati della popolazione carceraria australiana (Sezione 11.1), confronteremo le previsioni ottenute coi metodi bottom-up e MinT applicati ai modelli ETS di base, usando un insieme test comprendente i due anni finali, ovvero otto trimestri 2015Q1–2016Q4, dei dati a disposizione.

fit <- prison_gts %>%
  filter(year(Quarter) <= 2014) %>%
  model(base = ETS(Count)) %>%
  reconcile(
    bottom_up = bottom_up(base),
    MinT = min_trace(base, method = "mint_shrink")
  )
fc <- fit %>% forecast(h = 8)
fc %>%
  filter(is_aggregated(State), is_aggregated(Gender),
         is_aggregated(Legal)) %>%
  autoplot(prison_gts, alpha = 0.7, level = 90) +
  labs(y = "Number of prisoners ('000)",
       title = "Australian prison population (total)")
Previsioni della popolazione carceraria adulta australiana trimestrale per il periodo 2015Q1--2016Q4.

Figura 11.14: Previsioni della popolazione carceraria adulta australiana trimestrale per il periodo 2015Q1–2016Q4.

La Figura 11.14 mostra i tre insiemi di previsioni per la popolazione carceraria australiana aggregata. Le previsioni di base e bottom-up ottenute con i modelli ETS sembrano sottostimare il trend lungo il periodo di test. L’approccio MinT combina informazioni provenienti da tutte le previsioni di base presenti nella struttura di aggregazione; in questo caso, le previsioni di base al livello più alto vengono corrette verso l’alto.

Gli intervalli di previsione ottenuti con la riconciliazione MinT sono molto più stretti di quelli delle previsioni di base, perché MinT si basa su uno stimatore che minimizza le varianze. Le previsioni di base sono anche incoerenti, e dunque risentono anche dell’ulteriore incertezza provocata dall’errore di incoerenza.

Per semplificare la visualizzazione dei risultati, dai grafici seguenti vengono escluse le previsioni bottom-up. Tuttavia, terremo conto della loro accuratezza nei risultati della valutazione che sarà presentata successivamente.

Le Figure 11.1511.17 mostrano le previsioni di base e quelle MinT a vari livelli di aggregazione. Per rendere più semplice la visione dell’effetto, mostriamo solo gli ultimi cinque anni del training set. In generale, MinT aggiusta le previsioni di base nella direzione del test set, migliorando in tal modo l’accuratezza previsiva. Non c’è però alcuna garanzia che le previsioni riconciliate con MinT siano più accurate delle previsioni di base per ogni serie, ma esse lo saranno in media (si veda Panagiotelis et al., 2021).

fc %>%
  filter(
    .model %in% c("base", "MinT"),
    !is_aggregated(State), is_aggregated(Legal),
    is_aggregated(Gender)
  ) %>%
  autoplot(
    prison_gts %>% filter(year(Quarter) >= 2010),
    alpha = 0.7, level = 90
  ) +
  labs(title = "Popolazione carceraria (per stato)",
       y = "Numero di detenuti ('000)") +
  facet_wrap(vars(State), scales = "free_y", ncol = 4) +
  theme(axis.text.x = element_text(angle = 90, hjust = 1))
Previsioni per la popolazione carceraria adulta trimestrale australiana disaggregata per stato.

Figura 11.15: Previsioni per la popolazione carceraria adulta trimestrale australiana disaggregata per stato.

La Figura 11.15 mostra le previsioni per ciascuno degli otto stati. Si nota un trend generale verso l’alto nel test set per tutti gli stati. Tuttavia, sembra esserci un incremento relativamente grande ed improvviso nel New South Wales ed in Tasmania, il che significa che le osservazioni del test set sono ben oltre il limite superiore degli intervalli di previsione per entrambi questi stati. Poiché il New South Wales è lo stato con la popolazione carceraria più alta, questo incremento avrà un impatto non trascurabile sul totale. Al contrario, Victoria mostra una diminuzione non trascurabile nel periodo 2015Q2–2015Q3, prima di tornare ad avere un trend verso l’alto. Questo calo non viene catturato da nessuna delle previsioni per lo stato Victoria.

Previsioni della popolazione carceraria adulta trimestrale australiana, disaggregata per condizione giuridica e per genere.

Figura 11.16: Previsioni della popolazione carceraria adulta trimestrale australiana, disaggregata per condizione giuridica e per genere.

Previsioni delle serie di più basso livello della popolazione carceraria adulta trimestrale australiana, disaggregata per stato, per condizione giuridica e per genere.

Figura 11.17: Previsioni delle serie di più basso livello della popolazione carceraria adulta trimestrale australiana, disaggregata per stato, per condizione giuridica e per genere.

La Figura 11.17 mostra le previsioni per alcune selezionate serie del livello più basso della popolazione carceraria australiana. I quattro stati più grandi sono rappresentati lungo le colonne, con condizione giuridica e genere lungo le righe. Questi grafici permettono alcune analisi ed osservazioni interessanti che hanno implicazioni politiche. Il grande aumento osservato per gli stati durante il test set 2015Q1–2016Q4 sembra dovuto ai grandi aumenti nella popolazione carceraria in custodia cautelare. Questi incrementi sembrano generalmente non essere colti da entrambe le previsioni. A differenza degli altri stati, per il New South Wales c’è anche un non trascurabile aumento nella popolazione carceraria condannata. In particolare, l’aumento nel numero dei maschi condannati in NSW contribuisce in maniera sostanziale ad aumentare il numero di detenuti nello stato e nel paese.

Usando la funzione accuracy(), possiamo valutare l’accuratezza previsiva per la struttura raggruppata. Il codice che segue valuta l’accuratezza previsiva solo per l’aggregato di livello più elevato della serie storica della popolazione carceraria australiana. Un codice analogo viene usato per ottenere i restanti risultati mostrati nella Tavola 11.3.

fc %>%
  filter(is_aggregated(State), is_aggregated(Gender),
         is_aggregated(Legal)) %>%
  accuracy(data = prison_gts,
           measures = list(mase = MASE,
                           ss = skill_score(CRPS)
                           )
           ) %>%
  group_by(.model) %>%
  summarise(mase = mean(mase), sspc = mean(ss) * 100)
#> # A tibble: 3 × 3
#>   .model     mase  sspc
#>   <chr>     <dbl> <dbl>
#> 1 MinT      0.895  76.8
#> 2 base      1.72   55.9
#> 3 bottom_up 1.84   33.5

La Tavola 11.3 sintetizza l’accuratezza delle previsioni di base e riconciliate mediante gli approcci bottom-up e MinT per il test set 2015Q1–2016Q4, per ciascuno dei livelli della struttura di aggregazione raggruppata e per tutti i livelli.

Tabella 11.3: Accuratezza delle previsioni della popolazione carceraria australiana per differenti gruppi di serie.
MASE
Skill Score (CRPS)
Base Bottom-up MinT Base Bottom-up MinT
Total 0.90 1.72 1.84 76.80 55.91 33.46
State 1.78 2.12 1.88 22.46 6.40 24.10
Legal status 2.32 2.89 2.68 45.23 22.22 50.27
Gender 0.91 0.89 1.76 71.06 68.98 27.49
Bottom 2.06 2.23 2.23 -3.23 0.93 0.93
All series 1.96 2.19 2.16 8.69 6.70 11.29

Vengono usate misure che fanno uso di errori di previsione scalati perché il numero dei detenuti varia in maniera significativa tra i vari gruppi. L’indice MASE fornisce una misura scalata dell’accuratezza delle previsioni puntuali (si veda la Sezione 5.8), mentre l’indice CRPS skill score fornisce una misura scalata dell’accuratezza delle distribuzioni previsive (si veda la Sezione 5.9). Un valore basso dell’indice MASE indica una buona previsione, mentre un valore alto dello skill score indica una buona previsione.

I risultati mostrano che le previsioni riconciliate con MinT migliorano l’accuratezza delle previsioni di base e sono anche più accurate delle previsioni bottom-up. Poiché l’approccio di riconciliazione ottimale MinT usa informazioni da tutti i livelli della struttura, esso genera previsioni più accurate degli approcci tradizionali (come l’approccio bottom-up) che usano invice una informazione limitata.

Bibliografia

Panagiotelis, A., Athanasopoulos, G., Gamakumara, P., & Hyndman, R. J. (2021). Forecast reconciliation: A geometric view with new insights on bias correction. International Journal of Forecasting, 37(1), 343–359. [DOI]