8.2 후방이동 기호

후방이동(backshift) 연산자 \(B\)는 시계열 시차를 다룰 때 유용한 표기법 장치입니다: \[ B y_{t} = y_{t - 1} \: . \] (어떤 참고 문헌에서는 “후방이동(backshift)”을 나타내는 \(B\) 대신에 “시차(lag)”을 나타내는 \(L\)을 사용합니다.) 다르게 말하면, \(y_{t}\)에 작용하는 \(B\)는 데이터를 한 시점 뒤로 옮기는 효과를 냅니다. \(B\)\(y_{t}\)에 두 번 적용하면 데이터를 두 시점 뒤로 옮깁니다: \[ B(By_{t}) = B^{2}y_{t} = y_{t-2}\: . \] 월별 데이터에서, “지난해 같은 달”을 다루고 싶다면, 다음과 같이 이렇게 표기합니다. \(B^{12}y_{t}\) = \(y_{t-12}\).

후방이동(backshift) 연산자는 차분을 구하는 과정을 설명할 때 편리합니다. 1차 차분을 다음과 같이 쓸 수 있습니다. \[ y'_{t} = y_{t} - y_{t-1} = y_t - By_{t} = (1 - B)y_{t}\: . \] 1차 차분을 \((1 - B)\)로 나타냈다는 것에 주목하시길 바랍니다. 비슷하게, 2차 차분을 계산해야하면, 이 때는 아래와 같이 주어집니다. \[ y''_{t} = y_{t} - 2y_{t - 1} + y_{t - 2} = (1-2B+B^2)y_t = (1 - B)^{2} y_{t}\: . \] 일반적으로, \(d\)차 차분은 다음과 같이 쓸 수 있습니다. \[ (1 - B)^{d} y_{t}. \]

차분을 연산자로 결합하면 보통의 대수 법칙을 사용하여 다룰 수 있게 되기 때문에, 후방이동(backshift) 기호는 특별히 유용합니다. 특별히, \(B\)를 포함하는 항은 서로 곱할 수 있습니다.

예를 들면, 1차 차분 뒤에 이어서 나오는 계절성 차분은 다음과 같이 쓸 수 있습니다. \[\begin{align*} (1-B)(1-B^m)y_t &= (1 - B - B^m + B^{m+1})y_t \\ &= y_t-y_{t-1}-y_{t-m}+y_{t-m-1}, \end{align*}\] 이는 이전에 얻은 결과와 같은 것입니다.