10.4 Tendências estocásticas e determinísticas

Existem duas maneiras diferentes de modelar uma tendência linear. Uma tendência determinística é obtida usando o modelo de regressão: \[ y_t = \beta_0 + \beta_1 t + \eta_t, \] onde \(\eta_t\) é um processo ARMA. Uma tendência estocástica é obtida usando o modelo a seguir: \[ y_t = \beta_0 + \beta_1 t + \eta_t, \] onde \(\eta_t\) é um processo ARIMA com \(d=1\). Neste último caso, podemos diferenciar os dois lados para que \(y_t' = \beta_1 + \eta_t'\), onde \(\eta_t'\) é um processo ARMA. Em outras palavras: \[ y_t = y_{t-1} + \beta_1 + \eta_t'. \]

Isso é semelhante a um random walk com drift (introduzido na Secção 9.1), mas aqui o termo de erro é um processo ARMA em vez de simplesmente ruído branco.

Embora esses modelos pareçam bastante semelhantes (eles só diferem no número de diferenças que precisam ser aplicadas a \(\eta_t\)), suas características de previsão são bem diferentes.

Exemplo: Transporte aéreo de passageiros na Austrália

aus_airpassengers |>
  autoplot(Passengers) +
  labs(y = "Passageiros (milhôes)",
       title = "Total anual de passageiros aéreos")

Figura 10.9: Total anual de passageiros (em milhões) para as transportadoras aéreas australianas, 1970–2016.

Figura 10.9 mostra o número total de passageiros das transportadoras aéreas australianas a cada ano de 1970 a 2016. Ajustaremos um modelo de tendência determinístico e um modelo de tendência estocástica a esses dados.

O modelo de tendência determinística é obtido da seguinte forma:

fit_deterministic <- aus_airpassengers |>
  model(deterministic = ARIMA(Passengers ~ 1 + trend() +
                                pdq(d = 0)))
report(fit_deterministic)
#> Series: Passengers 
#> Model: LM w/ ARIMA(1,0,0) errors 
#> 
#> Coefficients:
#>          ar1  trend()  intercept
#>       0.9564   1.4151     0.9014
#> s.e.  0.0362   0.1972     7.0751
#> 
#> sigma^2 estimated as 4.343:  log likelihood=-100.88
#> AIC=209.77   AICc=210.72   BIC=217.17

Este modelo pode ser escrito como: \[\begin{align*} y_t &= 0.901 + 1.415 t + \eta_t \\ \eta_t &= 0.956 \eta_{t-1} + \varepsilon_t\\ \varepsilon_t &\sim \text{NID}(0,4.343). \end{align*}\]

O crescimento estimado no número de visitantes é 1.42 milhões de pessoas por ano.

Alternativamente, o modelo de tendência estocástica pode ser estimado:

fit_stochastic <- aus_airpassengers |>
  model(stochastic = ARIMA(Passengers ~ pdq(d = 1)))
report(fit_stochastic)
#> Series: Passengers 
#> Model: ARIMA(0,1,0) w/ drift 
#> 
#> Coefficients:
#>       constant
#>         1.4191
#> s.e.    0.3014
#> 
#> sigma^2 estimated as 4.271:  log likelihood=-98.16
#> AIC=200.31   AICc=200.59   BIC=203.97

Este modelo pode ser escrito como \(y_t-y_{t-1} = 1.419 + \varepsilon_t\), ou de forma equivalente: \[\begin{align*} y_t &= y_0 + 1.419 t + \eta_t \\ \eta_t &= \eta_{t-1} + \varepsilon_{t}\\ \varepsilon_t &\sim \text{NID}(0,4.271). \end{align*}\]

Neste caso, o crescimento estimado no número de visitantes também é 1.42 milhões de pessoas por ano. Embora as estimativas de crescimento sejam semelhantes, os intervalos de previsão não são, como mostra a Figura 10.10. Em particular, as tendências estocásticas têm intervalos de previsão muito mais amplos porque os erros não são estacionários.

aus_airpassengers |>
  autoplot(Passengers) +
  autolayer(fit_stochastic |> forecast(h = 20),
    colour = "#0072B2", level = 95) +
  autolayer(fit_deterministic |> forecast(h = 20),
    colour = "#D55E00", alpha = 0.65, level = 95) +
  labs(y = "Passageiros aéreos (milhôes)",
       title = "Previsões a partir de modelos de tendência")

Figura 10.10: Previsões de passageiros anuais para as transportadoras aéreas australianas utilizando um modelo de tendência determinística (laranja) e um modelo de tendência estocástica (azul).

Há um pressuposto implícito com tendências determinísticas de que a declividade da tendência não vai mudar ao longo do tempo. Por outro lado, as tendências estocásticas podem mudar e o crescimento estimado é assumido apenas como o crescimento médio ao longo do período histórico, não necessariamente a taxa de crescimento que será observada no futuro. Consequentemente, é mais seguro prever com tendências estocásticas, especialmente para horizontes de previsão mais longos, pois os intervalos de previsão permitem maior incerteza no crescimento futuro.