7.8 연습문제

pigs 시계열을 살펴봅시다 — 호주 빅토리아 주에서 매달 도축하는 돼지의 수입니다.
1. \(\alpha\)와 \(\ell_0\)의 최적값을 찾기 위해, R에서 ses() 함수를 사용해보고, 다음 4개의 달에 대한 예측값을 내봅시다.
2. \(\hat{y} \pm 1.96s\)을 이용하여 첫 번째 예측값에 대한 95% 예측 구간을 계산해봅시다. 여기에서 \(s\)는 잔차의 표준 편차입니다. R이 내는 구간과 여러분의 구간을 비교해봅시다.
단순 지수 평활을 구현하는 함수를 작성해봅시다. 함수는 다음과 같은 입력값을 사용해야합니다. y(시계열), alpha(평활 매개변수 \(\alpha\)), level(초기 수준 \(\ell_0\)). 시계열에서 다음 관측의 예측값을 돌려줘야 합니다. 작성한 함수가 ses()로 얻은 예측값과 같은 결과를 냅니까?
이전 연습 문제에서 작성한 여러분의 함수가 다음 관측에 대한 예측값을 돌려주는 대신 제곱 오차의 합을 돌려주도록 수정해봅시다. 그리고 \(\alpha\)와 \(\ell_0\)의 최적값을 찾기 위해 optim() 함수를 사용해봅시다. ses() 함수가 내는 값과 같은 결과를 얻습니까?
\(\alpha\)와 \(\ell_0\)의 최적값 둘 다를 찾고, 시계열에서 다음 관측에 대한 예측치를 내는 한 함수로 만들기 위해 여러분의 두 함수를 결합해봅시다.
books 데이터에는 같은 상점에서 문고판과 양장본 책의 일일 판매량이 있습니다. 문고판과 양장본 책의 다음 4일 판매량을 예측해봅시다.
1. 시계열을 그리고 데이터의 주요 특징을 이야기해봅시다.
2. 각 시계열을 예측하기 위해 ses 함수를 이용해보고 예측값을 그려봅시다.
3. 각 경우에 훈련 데이터에 대한 RMSE 값을 계산해봅시다.
books 데이터에서 문고판(paperback)과 양장본(hardcover) 책의 일별 판매량을 다뤄봅시다.
1. paperback과 hardback 시계열에 홀트의 선형 기법을 적용해보고, 각각의 경우에 4일 예측값을 계산해봅시다.
2. 두 시계열에 대한 Holt 기법의 RMSE 측정값을 이전 문제에서의 단순 지수평활의 경우와 비교해봅시다. (Holt의 기법은 SES보다 매개변수를 하나 더 사용합니다.) 이러한 데이터에 대한 두 예측 기법의 장점을 이야기해봅시다.
3. 두 기법 다 사용하여 두 시계열에 대한 예측값을 계산해봅시다. 어떤 것이 좋다고 생각하십니까?
4. 각 시계열에서 RMSE 측정값과 정규 분포를 따르는 오차를 가정하여 첫 번째 예측치에 대한 95% 예측 구간을 계산해봅시다. ses()와 holt()를 사용하여 얻은 구간과 비교해봅시다.
이 연습문제에서, 미국에서 1900년부터 1993년까지의 달걀 12개 가격 데이터를 (데이터 이름은 eggs입니다.) 사용합시다. holt() 함수에서 감쇠 추세나 박스-칵스(Box-Cox) 변환에 따라 예측값이 얼마나 변하는지를 살펴보기 위해 다양한 옵션을 이용하여 실험해봅시다. 어떤 입력값이 예측값에 영향을 줄 지 직관적으로 생각해봅시다.

[힌트: holt() 함수를 호출할 때 h=100를 사용해봅시다. 그러면 예측값을 그래프로 나타낼 때 다양한 옵션 사이의 차이를 분명하게 확인할 수 있습니다.]

어떤 모델이 가장 좋은 RMSE 값을 냅니까?
(2.10 절의 연습 문제 1에서 사용했던) 소매 시계열 데이터로 다시 돌아가봅시다.
1. 이 시계열에서 왜 곱셈 계절성이 필요합니까?
2. 홀트-윈터스(Holt-Winters) 곱셈 기법을 데이터에 적용해봅시다. 추세를 감쇠하게 만들어서 실험해봅시다.
3. 두 기법의 한 단계 예측값의 RMSE를 비교해봅시다. 여러분은 어떤 것을 선호하십니까?
4. 가장 좋은 기법에서 얻은 잔차가 백색잡음처럼 보이는지 확인해봅시다.
5. 이제 2010년 말까지의 데이터로 모델을 학습시켜서 테스트 데이터의 RMSE를 구해봅시다. 3.7 절의 연습문제 8에서 계절성 단순 기법으로 얻은 것보다 나을 수 있습니까?
같은 소매 데이터에서, 계절성으로 조정된 데이터에 대한 ETS 다음에 나오는 박스-칵스(Box-Cox)로 변환된 시계열에 STL 분해를 적용해봅시다. 테스트 데이터에 대해 여러분이 이전에 얻은 가장 좋은 예측값과 비교하면 어떻습니까?
이 연습문제에서, 1977년 1분기부터 2005년 1분기까지 분기별 영국 승용차 생산 데이터를 사용합시다(데이터 모음 ukcars).
1. 데이터를 그려보고 시계열의 주요 특징을 설명해봅시다.
2. STL을 이용하여 시계열을 분해해보고, 계절성으로 조정된 데이터를 구해봅시다.
3. 계절성으로 조정된 데이터에 적용된 덧셈 감쇠 추세 기법을 사용하여 시계열의 다음 2년을 예측해봅시다. (다음의 입력값 etsmodel="AAN", damped=TRUE``stlf과 함께 stlf()를 사용하여 한 번에 할 수 있습니다.)
4. 계절성으로 조정된 데이터에 적용된 홀트(Holt)의 선형 기법을 사용하여 시계열의 다음 2년을 예측해봅시다(damped=FALSE를 제외하면 이전의 경우와 같습니다).
5. 이제 데이터에 대한 계절성 모델을 고르기 위해 ets()를 사용합시다.
6. STL 분해를 사용하여 여러분이 얻은 모델의 RMSE와 ETS 모델의 RMSE를 비교해봅시다. 어떤 경우가 표본 안에서 더 잘 맞습니까?
7. 4가지 접근방식으로 얻은 예측값을 비교해봅시다. 어떤 것이 가장 그럴듯합니까?
8. 여러분이 선호하는 모델의 잔차를 확인해봅시다.
이 연습문제에서는, 1985년 5월부터 2005년 4월까지 해외에서 호주로 들어오는 단기 방문자의 월별 데이터를 사용합시다(데이터 모음: visitors.)
1. 여러분의 데이터의 시간 그래프(time plot)를 그려보고 시계열의 주요 특징을 설명해봅시다.
2. 여러분의 데이터를 학습 데이터와 사용할 수 있는 데이터의 마지막 2년으로 구성된 테스트 데이터로 나눠봅시다. 홀트-윈터스(Holt-Winters) 곱셈 기법을 사용하여 테스트 데이터를 예측해봅시다.
3. 여기에서 곱셈 계절성이 왜 필요합니까?
4. 다음과 같은 기법 각각을 사용하여 2년 테스트 데이터를 예측해봅시다:
  1. ETS 모델;
  2. 박스-칵스(Box-Cox) 변환된 시계열에 적용된 덧셈 ETS 모델;
  3. 단순 계절성 기법;
  4. 계절성으로 조정된 (변환된) 데이터에 적용된 ETS 모델에 이어 박스-칵스(Box-Cox) 변환된 데이터에 적용된 STL 분해.
5. 어떤 기법이 가장 좋은 예측값을 냅니까? 그 기법이 잔차 검증을 통과합니까?
6. 학습 데이터와 테스트 데이터를 이용하는 대신 tsCV() 함수를 이용한 시계열 교차 검증으로 5가지 같은 기법을 비교해봅시다. 같은 결론을 얻습니까?
아래의 fets() 함수는 ETS 예측값을 냅니다.
```
fets <- function(y, h) {
  forecast(ets(y), h = h)
}
```
1. \(h=4\)인 예측 범위에 대해 tsCV()를 사용하여 ETS와 계절성 단순 기법을 qcement 데이터에 적용해봅시다. (힌트: fets()와 snaive() 함수를 예측함수의 입력값으로 사용해봅시다.)
2. \(4\)-단계-앞 결과의 오차를 MSE로 계산해봅시다. (힌트: 빠진 값missing value을 제거했는지 확인해봅시다.) 왜 빠진 값이 있습니까? 어떤 예측값이 더 정확한지 이야기해봅시다. 여러분이 예상했던 결과와 같습니까?
ets(), snaive(), stlf()를 다음과 같은 6개 시계열에 대해 비교해봅시다. stlf에 대해 박스-칵스(Box-Cox) 변환을 사용해야할 수도 있습니다. 어떤 것이 가장 좋은 예측값을 내는지 결정하기 위해 3년의 테스트 데이터를 사용합시다. ausbeer, bricksq, dole, a10, h02, usmelec.
1. 아래의 시계열에 ets()를 적용해봅시다: bicoal, chicken, dole, usdeaths, lynx, ibmclose, eggs. 이 방법이 항상 좋은 예측값을 냅니까?
2. 이 방법이 제대로 작동하지 않는 예제를 찾아봅시다. 왜 그런지 설명할 수 있겠습니까?
ETS(M,A,M) 모델에서 얻은 점 예측값이 홀트-윈터스(Holt-Winters)의 곱셈 기법으로 얻은 결과와 같다는 것을 증명해봅시다.
ETS(A,N,N) 모델에 대한 예측 분산이 아래와 같이 주어지는 것을 증명해봅시다. \[ \sigma^2\left[1+\alpha^2(h-1)\right]. \]
오차가 정규 분포를 따른다고 가정하고 ETS(A,N,N) 모델에 대한 95% 예측 구간을 \(\ell_T\), \(\alpha\), \(h\), \(\sigma\)의 함수로 적어봅시다.